Математики нашли скрытую «кнопку сброса» для отмены вращения

Представьте себе, что вы вращаете волчок, а затем позволяете ему остановиться. Есть ли способ снова повернуть волчок, чтобы он оказался в том же самом положении, в котором начал, как будто вы его вообще никогда не крутили? Удивительно, но да, говорят математики, открывшие универсальный рецепт отмены вращения практически любого объекта.

Интуитивно кажется, что единственный способ отменить сложную последовательность вращений — это кропотливо выполнять одно за другим прямо противоположные движения. Но Жан-Пьер Экманн в Женевском университете в Швейцарии и Цви Тлусти в Ульсанском национальном институте науки и технологий (UNIST) в Южной Корее нашли скрытую кнопку сброса, которая включает в себя изменение размера начального вращения на общий коэффициент (процесс, известный как масштабирование), и повторение его дважды.

В случае с волчком, если ваше первоначальное вращение повернуло волчок на три четверти, вы можете вернуться к началу, уменьшив вращение до одной восьмой, а затем повторив его дважды, чтобы получить дополнительную четверть вращения. Но Экманн и Тласти показали, что то же самое можно сделать и в гораздо более сложных ситуациях.

«На самом деле это свойство практически любого вращающегося объекта, например, вращения, кубита, гироскопа или роботизированной руки», — говорит Тлусти. “Если [objects] пройти весьма запутанный путь в пространстве, просто масштабируя все углы вращения на один и тот же коэффициент и дважды повторив эту сложную траекторию, они просто возвращаются в начало координат».

Их математическое доказательство начинается с каталога всех возможных вращений в трех пространственных измерениях. Этот каталог, известный как SO(3), может быть описан с использованием абстрактного математического пространства, которое имеет специальные правила и структурировано как шар, при этом действие объекта происходит через последовательность вращений в реальном пространстве, что соответствует перемещению из одной точки внутри шара в другую, как червь, прокладывающий туннель сквозь яблоко.

Когда вы вращаете волчок каким-то сложным способом, эквивалентный путь в пространстве SO(3) начинается в самом центре шара и может закончиться в любой другой точке внутри шара, в зависимости от деталей вращения. Цель отмены вращения эквивалентна поиску пути обратно к центру шара, но поскольку центр только один, ваши шансы сделать это наугад невелики.

Экманн и Тласти поняли, что в результате структуры SO(3) отмена вращения на полпути эквивалентна поиску пути, который приведет вас в любое место на поверхности шара. «Это гораздо проще, чем пытаться достичь центра, потому что поверхность состоит из множества точек», — говорит Тлусти. Это было ключом к новому доказательству.

По словам Экманна, пара потратила много времени на поиски математических рассуждений, которые ни к чему не привели. В конечном итоге сработала формула XIX века для объединения двух последующих вращений, называемая формулой Родригеса, и теорема 1889 года из раздела математики, известного как теория чисел. В конечном итоге исследователи пришли к выводу, что коэффициент масштабирования, необходимый для их сброса, существует почти всегда.

Для Экмана новая работа — это демонстрация того, насколько богатой может быть математика даже в такой хорошо изученной области, как изучение вращений. Тлусти говорит, что это может иметь и практические последствия, например, в ядерный магнитный резонанс (ЯМР), лежащий в основе магнитно-резонансной томографии (МРТ). Здесь исследователи изучают свойства материалов и тканей, изучая реакцию квантовых спинов внутри них на вращения, налагаемые на них внешними магнитными полями. Новое доказательство может помочь разработать процедуры устранения нежелательных вращений вращения, которые могут помешать процессу визуализации.

Эта работа также может привести к прогрессу в робототехникаговорит Джози Хьюз в Федеральной политехнической школе Лозанны в Швейцарии. Например, катящегося робота можно заставить следовать по пути повторяющихся сегментов, включая надежное движение «крен-сброс-крен», которое теоретически может продолжаться вечно. «Представьте, если бы у нас был робот, который мог бы трансформироваться в любую твердую форму тела, а затем следовать по любому желаемому пути, просто меняя форму», — говорит она.