Маленькая теорема | игра в науку

На прошлой неделе мы рассмотрели некоторые характеристики универсального числа 8что, помимо всего прочего, является Лейланд номер. Посмотрим, что об этом говорит наш постоянный комментатор Бретос Бурсо:

” последовательность чисел де Лейланд появляется в OEIS, но добавляет цифру 3 в качестве начального элемента без объяснения причин. Ответить на вопрос Карло легко: удалите x=1 или y=1, потому что иначе каждое число n было бы числом Лейланда (n=1^(n-1)+(n-1)^1). В записи OEIS есть ссылка на текстовый файл с первыми 5000 чисел Лейланда, и мне стало известно, что число 98 равно 20000000000. Я задаю очевидный вопрос: зная, что число Лейланда равно x^y + y^x, если целые числа x и y больше 1, как узнать, что такое x и y? Для кого-то это очень просто, но как решить, например, для того, что стоит на месте 100, то есть 31381070257?

OEIS – это Интернет-энциклопедия последовательностей целых чисела еще меня удивило, что 3 в начале списка, так как во всех статьях, которые я до сих пор читал о числах Лейланда, 8 считается первым из них. Можете ли вы придумать объяснение этому включению? И, имея число Лейланда, как мы можем найти x и y, которые его генерируют?

Среди чисел Лейланда те, которые являются простыми, представляют особый интерес, особенно для их использования в криптографии. Наименьшее простое число Лейланда — 17, второе — 593, и мы не найдем еще одно, пока не достигнем 32993, откуда мы перескочим к 2097593: простые числа Лейланда расположены далеко друг от друга, и их последовательность растет очень быстро. Самое большое известное простое число Лейланда соответствует значениям 2929 и 8656 для x и y, числу из 30008 цифр.

Среди чисел Лейланда также есть большие вероятные простые числа, такие как 9 и 314738. Как следует из названия, вероятное простое число — это число, которое с большой вероятностью будет простым, хотя это и не доказано. Вероятные простые числа проходят тест Ферма на простоту, основанный на его «маленькой теореме».

Не очень маленькая теорема

Маленькая теорема Ферма утверждает, что если a — натуральное число, а p — простое число, не являющееся множителем a, то p должно быть множителем aᴾ⁻¹ — a. Например, если a = 8 и p = 3, мы видим, что 8² – 1 = 63, а 63 делится на 3. Как мы можем основывать тест на простоту, способный обнаруживать вероятные простые числа, на этой теореме?

Ее называют «малой теоремой Ферма», чтобы отличить ее от того, что известно как последняя теорема Ферма, а сегодня Теорема Ферма – Уайлсапри условии был показан в 1995 году для него Британский математик Эндрю Уайлс. Упомянутая теорема утверждает, что невозможно найти три положительных целых числа x, y, z, такие, что они проверяют уравнение, xⁿ + yⁿ = zⁿ, для н больше или равно 3. То, что кажется невинным расширением теоремы Пифагора, оказывается невозможным; невозможность настолько трудно доказать, что математикам понадобилось более трех столетий, чтобы достичь ее. Он Сам Уайлс описал свой процесс так::

«Вы входите в первую комнату особняка, и там темно. Вы продолжаете натыкаться на мебель, но мало-помалу вы узнаете, где находится каждый предмет мебели. Наконец, через шесть месяцев или около того, вы находите выключатель, и внезапно все загорается. Вы можете точно видеть, где вы находитесь. Потом вы идете в соседнюю комнату и проводите еще полгода в темноте. Таким образом, все эти продвижения, хотя иногда очень быстрые и совершаемые за день или два, являются кульминацией предшествующих месяцев блужданий в темноте, без которых продвижение было бы невозможно».

Вы можете следить МАТЕРИА в Фейсбук, Твиттер е Инстаграмукажите здесь, чтобы получить наш еженедельный информационный бюллетень.