Математик Герд Фалтингс получил премию Абеля 2026 года за решение загадки 60-летней давности

Герд Фальтингс получил Абелевскую премию 2026 года, считающуюся Нобелевской премией по математике, за новаторское доказательство, которое произвело фурор в математике в 1983 году. Его вклад помог создать одну из самых важных областей современной математики, арифметика геометрия.

Главным достижением Фалтингса, который также получил престижную медаль Филдса в 1986 году за ту же работу, было доказательство гипотезы Морделла, давней теоремы, впервые предложенной Луи Морделлом в 1922 году, которая утверждает, что все более сложные уравнения дают меньше решений.

Фальтингс, работающий в Институте математики Макса Планка в Германии, говорит, что для него была «большая честь», когда он узнал об этой новости, но он был сдержан в отношении влияния своих достижений. «Кто-то сказал, что восхождение на Эверест связано с тем, что оно там, и это было проблемой», — говорит Фалтингс. «Я решил [the Mordell conjecture]но, в конце концов, это не позволяет нам вылечить рак или болезнь Альцгеймера, а просто расширяет наши знания о вещах».

Гипотеза Морделла касается диофантовых уравнений, обширной категории, включающей такие знаменитые уравнения, как a² + b² = c² из Теорема Пифагора и aⁿ + bⁿ = cⁿ, что лежит в основе знаменитой последней теоремы Ферма. Морделл хотел понять, какие из этих диофантовых уравнений в их более общей форме имеют бесконечное множество решений, а какие — только конечное.

Если эти уравнения переписать с помощью комплексных чисел, своего рода двумерных чисел, а затем представить их в виде поверхностей, таких как сферы или пончики, Морделл понял, что именно количество отверстий, содержащихся на поверхности, определяет, сколько существует решений. Морделл интуитивно понял, что для поверхностей, на которых отверстий больше, чем у бублика, всегда будет только конечное число рациональных решений, то есть решений, использующих либо целые числа, либо дроби, но он не смог этого доказать.

Когда более шести десятилетий спустя Фалтингс наконец доказал догадку Морделла, это удивило математиков не только результатом, но и тем, как он это сделал. Его доказательство объединило идеи из, казалось бы, разных математических дисциплин, таких как геометрия и арифметика. «Это очень коротко, это похоже на чудо», — говорит Акшай Венкатеш в Институте перспективных исследований в Принстоне. «В этой статье всего 18 страниц, и она запутанно перескакивает между различными техниками и разными интуициями».

Фалтингс объясняет свой успех тем, что ему комфортно в условиях неопределенности, и он рискует идеями, которые, возможно, не доказаны, но у него есть предчувствие, которое может сработать. «Иногда я опережаю людей, которые пытаются сразу все доказать, но иногда я тоже сбиваюсь с пути», — говорит Фалтингс.

«Одна из впечатляющих особенностей его аргументации заключается в том, что она охватывает очень многое, и ее части должны сочетаться друг с другом», — говорит Венкатеш. «Можно подумать, откуда у него хватило уверенности приступить к этому, еще не зная, как эти кусочки сойдутся воедино?»

Многие из гипотез, которые решил Фалтингс, и инструменты, которые он разработал в рамках своего доказательства Морделла, впоследствии легли в основу некоторых крупнейших областей математических исследований сегодня, таких как p-адическая теория Ходжа, которая исследует связи между кривыми формы и ее структурой, но с использованием систем счисления, совершенно отличающихся от нашей. Он также напрямую повлиял на важные события в современной математике.например, прокладывая путь для Эндрю Уайлса доказательство Великой теоремы Фермаи наставничество Шиничи Мотидзуки, японского математика, который спорные утверждения он доказал гипотезу abc.

Фалтингс говорит, что он не собирался работать над проблемами, имеющими такое огромное влияние. «Моя идея заключалась в том, что я не должен думать о том, что может сделать меня знаменитым и богатым, а стараюсь найти то, что мне нравится», — говорит Фалтингс. «Потому что, если ты работаешь над тем, что тебе нравится, это веселее».