Почему ноль — самое важное число во всей математике

Какое число является самым важным во всей математике? Хорошо, это довольно глупый вопрос – как из бесконечных возможностей можно выбрать? Я полагаю, что такой сильный нападающий, как 2 или 10, имеет больше претензий на корону, чем что-то случайно выбранное из далекого триллиона триллионов, но на самом деле это все равно было бы довольно произвольно. Тем не менее, я собираюсь заявить, что есть самое важное число: ноль. Посмотрим, смогу ли я вас убедить.

Восхождение Зеро к вершине математического пантеона начинается, как и путешествие типичного героя, со скромного происхождения. На самом деле, когда это началось около 5000 лет назад, это вообще не было цифрой. В то время древние вавилоняне использовали клинопись из линий и клиньев для записи чисел. Они были похожи на счетные знаки: количество знаков одного типа обозначало числа от 1 до 9, а количество знаков другого типа – 10, 20, 30, 40 и 50.

Эти отметки позволяют вам считать до 59. Что же произойдет, когда вы наберете 60? Что ж, вавилоняне просто начали заново, используя ту же отметку для 1, что и для 60. Эта система счисления по основанию 60 была удобной, потому что 60 делится на очень много других чисел, что упрощало вычисления, и отчасти поэтому мы до сих пор используем ее для определения времени. Но неспособность отличить 1 от 60 была большим недостатком.

Решение, таким образом, было нулевым – или, по крайней мере, чем-то вроде него. Вавилоняне использовали два клина, расположенных под углом, чтобы обозначить отсутствие числа, что позволяло им располагать другие числа в правильном месте, как мы это делаем сегодня.

Например, в современной системе счисления 3601 означает три тысячи, шесть сотен, ноль десятков и одну единицу. Вавилоняне написали бы это как шестьдесят шестьдесят, ноль десятков и одна единица, но без их позиционного нуля символы для этого были бы точно такими же, как один шестьдесят и одна единица. Однако важно отметить, что вавилоняне на самом деле не считали позиции с помощью нуля – это было больше похоже на знак препинания или напоминание о необходимости перехода к следующему числу.

Этот вид нулевого заполнителя использовался в других древних культурах на протяжении тысячелетий, но не во всех из них. В частности, у римлян не было нуля, потому что римские цифры не являются позиционной системой счисления, где X всегда означает 10, независимо от того, где он находится. Следующая эволюция нуля произошла только в 3-м^р-д веке нашей эры, по крайней мере, согласно рукопись, обнаруженная на территории современного Пакистана. Он содержит сотни точечных символов, используемых в качестве позиционных нулей, и именно этот символ в конечном итоге превратился в 0, который мы знаем сегодня.

Тем не менее, идея нуля как самостоятельного числа, а не просто заполнителя, придется подождать еще несколько столетий. Впервые оно появляется в тексте под названием «Брахмаспхутасиддханта», написанном индийским математиком Брахмагуптой где-то около 628 года нашей эры. Хотя многие люди до него знали, что происходит что-то странное, если вы попытаетесь, скажем, отнять 3 от 2, такие вычисления традиционно считались чепухой. Брахмагупта был первым, кто серьезно отнесся к этой идее, описав арифметику как с отрицательными числами, так и с нулем. Его определение того, как манипулировать нулем, очень близко к нашей современной концепции, за одним важным исключением: что происходит, когда вы делите на ноль? Брахмагупта сказал, что 0/0 = 0, но уклончиво отнесся к любому другому числу, делённому на ноль.

Для истинного ответа на этот вопрос потребовалась бы еще тысяча лет, и это привело бы к появлению одного из самых мощных инструментов в арсенале математика – исчисления. Разработан независимо Исааком Ньютоном и Готфридом Вильгельмом Лейбницем в XVII в.^й В столетии исчисление предполагает манипулирование бесконечно малыми числами – числами, максимально близкими к нулю, но на самом деле не равными нулю. По сути, бесконечно малые числа позволяют вам подкрасться к идее деления на ноль, даже не достигнув ее по-настоящему, и это оказывается чрезвычайно полезным.

Чтобы узнать почему, давайте немного прокатимся. Предположим, мы едем на машине все быстрее и быстрее, а вы постепенно опускаете ногу, чтобы увеличить ускорение. Мы могли бы описать скорость автомобиля уравнением v = t², где t означает время. Итак, скажем, через 4 секунды ваша скорость будет 16 метров в секунду, начиная с 0. Но как далеко вы проехали за это время?

Поскольку расстояние равно скорости, умноженной на время, мы могли бы попробовать просто умножить 16 на 4, чтобы получить 64 метра. Но это не может быть правдой, потому что максимальную скорость в 16 м/с вы достигнете только в самом конце. Возможно, вместо этого мы могли бы разделить путешествие пополам, приняв первую половину за путешествие со скоростью 4 м/с в течение 2 секунд, а затем со скоростью 16 м/с в течение 2 секунд. Это дает нам расстояние 4 х 2 + 16 х 2 = 40 метров. Но на самом деле это завышенная оценка, поскольку в этих двух таймах мы по-прежнему рассчитываем на максимальные скорости.

Чтобы повысить точность нашей оценки, нам нужно сократить временные рамки, чтобы мы умножали только скорость, с которой мы движемся в определенной точке, на время, которое мы фактически тратим в этой точке – и здесь мы упираемся в ноль. Если вы нанесете v = t² на график и наложите наши предыдущие оценки, вы увидите, что первая оценка не совсем совпадает, а вторая оценка подходит ближе. Чтобы получить наиболее точные измерения, нам нужно будет разбить путешествие на временные интервалы длительностью ноль секунд, а затем сложить их вместе. Но это потребовало бы деления на ноль, что невозможно – по крайней мере, так было до изобретения исчисления.

Ньютон и Лейбниц придумали трюки, которые позволили вам приблизиться к делению на ноль, даже не делая этого, и хотя полное объяснение исчисления выходит за рамки этой статьи (попробуйте онлайн-курс, если вам интересно!), их методы открывают реальный ответ, который является интегралом от t² или t³/3. Это дает нам расстояние 21 и 1/3 метра. Ее также часто называют площадью под кривой, что становится более очевидным, если вы увидите ее на следующем графике:

Исчисление используется для гораздо большего, чем просто вычисление расстояния, пройденного автомобилем – на самом деле, мы используем его практически для всего, что связано с пониманием изменения величин, от физики до химии и экономики. Ничто из этого не было бы возможным без нуля и понимания того, как использовать его удивительную силу.

Однако, по моему мнению, истинные претензии Зеро на славу возникли в конце 19-го века.^й и в начале 20^й столетия, в период, когда математика погрузилась в экзистенциальный кризис. Математики и логики, копавшиеся в основах своего предмета, были все чаще обнаруживаю опасные дыры. В рамках усилий по укреплению ситуации они начали строго определять математические объекты, которые раньше считались настолько очевидными, что не нуждались в формальном определении, включая сами числа.

Что такое число? Это не может быть слово, например три, или символ, например, 3, потому что это всего лишь произвольные ярлыки, которые мы даем понятию тройственности. Мы можем указать на набор объектов, таких как яблоко, груша и банан, и сказать: «В этой миске три фрукта», но это все равно не доходит до его фундаментальной природы. Нам нужно что-то, что мы можем абстрактно посчитать и поместить в коллекцию, которую мы можем назвать «три». Современная математика делает именно это – с нулем.

Математики говорят о множествах, а не о коллекциях, поэтому примером фруктов может быть {яблоко, груша, банан}, с фигурными скобками, обозначающими множество. Теория множеств является основой современной математики; вы можете думать об этом почти как о «компьютерном коде» математики, где все математические объекты в конечном итоге необходимо описывать в отношении множеств, чтобы обеспечить логическую последовательность и избежать некоторых фундаментальных дыр, которые обнаружили математики.

Чтобы определить числа, математики начинают с «пустого множества» — множества, содержащего ноль объектов. Это можно записать как {}, но удобнее писать ∅ по причинам, которые станут очевидными. Получив пустой набор, мы можем определить остальные числа. Понятие единства — это множество, содержащее один объект, поэтому давайте поместим туда пустое множество: {{}} или {∅}, что удобнее для глаз. Следующее число, два, требует двух объектов. Первое может быть пустым множеством, а как насчет второго? Что ж, при определении мы уже создали еще один объект, набор, содержащий пустой набор, поэтому давайте воспользуемся им. В результате наш набор, определяющий два, будет выглядеть как {∅, {∅}}. Тогда три — это {∅, {∅}, {∅, {∅}}}, и вы можете продолжать делать это столько, сколько захотите.

Другими словами, ноль — это не просто самое важное число — в каком-то смысле это единственное число. Загляните под капот любого числа, и вы обнаружите, что оно полностью равно нулям. Неплохо для чего-то, что когда-то считалось всего лишь заполнителем.

Темы: