Теорема Паппа | Наука

Начнем с последней проблемы прошлой недели, связанной с самому Исааку Ньютону: Можно ли посадить 9 деревьев так, чтобы они образовали 10 прямых рядов по 3 дерева в каждом? Может, как видно из элегантного решения на прилагаемом рисунке. Решение, которое по совпадению (это поговорка: в математике совпадений не бывает) иллюстрирует Теорема Паппакоторый показывает, что если в каждой из пары прямых выбраны наугад три точки и соединены попарно отрезками прямых, то каждая точка одной прямой с каждой из точек другой, то пересечения соединяющих их отрезков будет по прямой.

Как видно на рисунке, мы взяли 3 точки на верхней линии и 3 на нижней линии и, соединив по две точки на обеих линиях, получим 3 центральные точки, которые также совмещены. Кстати, чтобы точки пересечения совпали, линии не обязательно должны быть параллельны, а точки не обязательно должны располагаться на равном расстоянии друг от друга, как в этом случае.

Папп (или Папо) Александрийский (ок. 290–ок. 350) был величайшим математиком своего времени и, помимо своей знаменитой теоремы, известен своими работами о платоновых телах, вписанных в сферу, и геометрическими конструкциями. например, цепочка Паппуса, кольцо кругов уменьшающегося размера между двумя касательными кругами.

Что касается проблемы с сеткой зубочисток Сэма Лойда, Рафаэль Гранеро, который нашел решение, удалив 10 зубочисток, улучшил ее, как видно на присланном им рисунке, удалив только 9.

Вы не можете уничтожить все квадраты, удалив менее 9 палочек, и я рискну (но не уверен), что, если оставить в стороне хитрости и симметрии, решение по сути уникальное. Я приглашаю моих проницательных читателей найти другое решение или показать, что оно уникально. Что нетрудно показать с помощью умного подхода, так это то, что вы не можете удалить все квадраты, удалив менее 9 зубочисток.

Это, казалось бы, простое развлечение Сэма Лойда, как это часто бывает с геометрическими головоломками, имеет нечто большее, чем кажется на первый взгляд, и приглашает нас исследовать варианты возрастающей сложности. В этом смысле интересно начать с самого начала и двигаться вперед шаг за шагом.

В тривиальном случае одного квадрата 1х1, состоящего из 4 палочек, ясно, что для его уничтожения нужно убрать только одну палочку. В случае 2х2 легко увидеть, что нужно убрать 3 палочки, а в 3х3 — 6. Не так просто увидеть, что в 4х4 нужно убрать минимум 9 палочек. А в квадратах 5х5, 6х6, 7х7…?

А если нас не устраивает уничтожение квадратов, но мы хотим уничтожить и все прямоугольники? В таком случае нам придется вынуть 3 зубочистки из квадрата 2х2, 7 из квадрата 3х3, 11 из квадрата 4х4… Осмелитесь продолжить?

Заменить вместо удаления

Наконец, говоря о задачах с зубочистками или спичками, нельзя не упомянуть, что они делятся на две большие группы: те, которые решаются удалением элементов, подобно тем, которые мы только что видели, и те, которые решаются переменой мест. . некоторые элементы, но не удаляя ни одного и всегда используя их по всей длине. Вспомним для примера один из самых популярных, простых и элегантных:

Поменяв местами две спички, перейдите от пяти квадратов к четырем без единой свободной спички.

Вы можете следить МАТЕРИЯ в Фейсбук, Твиттер е Инстаграмукажите здесь, чтобы получить наш еженедельный информационный бюллетень.