Два старшеклассника доказали теорему Пифагора способом, который один математик начала 20-го века считал невозможным: с помощью тригонометрии.
Калсиа Джонсон и Не’Кия Джексон из Академии Святой Марии в Новом Орлеане объявили о своем достижении в прошлом месяце на собрании Американского математического общества. «Честно говоря, это беспрецедентное чувство, потому что нет ничего подобного, иметь возможность делать что-то, что… люди не думают, что молодые люди могут делать», — сказал Джонсон WWL-TV, филиалу CBS в Новом Орлеане.
В случае проверки доказательство Джонсона и Джексона противоречило бы математику и педагогу Элише Лумису, который заявил в своей книге 1927 года. Предложение Пифагора что никакое тригонометрическое доказательство теоремы Пифагора не может быть правильным. Их работа присоединяется к нескольким другим тригонометрическим доказательствам, которые были добавлены в математические архивы на протяжении многих лет. Каждый обошел «круговую логику», чтобы доказать ключевую теорему. Так что же такое тригонометрическое доказательство теоремы Пифагора и почему Лумис был так закрыт от этой идеи?
Теорема Пифагора дает уравнение для вычисления большей стороны прямоугольного треугольника путем суммирования квадратов двух других сторон. Его часто формулируют как а2 + б2 “=” с2. В этом уравнении а, б и с представляют длины трех сторон прямоугольного треугольника, треугольника с углом 90 градусов между двумя его сторонами. Количество с это длина наибольшей стороны, называемой гипотенузой. Хотя теорема названа в честь древнегреческого философа Пифагора, некоторые историки считают, что она была известна в Вавилоне около 1000 лет назад.
Теорема «соединяет алгебру и геометрию», — говорит Стюарт Андерсон, почетный профессор математики Техасского университета A&M. “Заявление а2 + б2 “=” с2, это алгебраическое утверждение. Но фигура, из которой он исходит, — геометрическая фигура».
Между тем тригонометрия фокусируется на функциях, зависящих от углов. Эти функции, такие как синус и косинус, определяются с помощью прямоугольных треугольников. Представьте себе прямоугольный треугольник, одна сторона которого прилегает к столу, а другая отходит прямо вверх от того места, где она встречается с первой стороной под прямым углом. Гипотенуза проходит по диагонали между этими двумя сторонами.
Теперь измерьте угол между гипотенузой и столом. Математики определяют синус этого угла как высоту вертикальной стороны, деленную на длину гипотенузы. Косинусом этого угла является длина горизонтальной стороны, деленная на гипотенузу. Таким образом, теорема Пифагора эквивалентна уравнению sin2 Икс + потому что2 Икс = 1. «Многие основные тригонометрические «тождества» — не что иное, как теорема Пифагора», — объясняет Андерсон, имея в виду уравнения, описывающие отношения между различными тригонометрическими функциями.
Лумис считал, что если бы вы использовали эти функции в доказательстве теоремы Пифагора, вы бы предположили, что теорема начинается с кругового аргумента и, следовательно, с непростительной математической ошибкой.
Но это не всегда так. В своем выступлении на собрании Американского математического общества Джексон и Джонсон сказали, что тригонометрическое тождество, называемое законом синусов, не зависит от теоремы Пифагора и что они могут использовать ее для доказательства этой теоремы.
Андерсон надеется, что доказательство Джексона и Джонсона повысит интерес к математике среди студентов. «Это как бы заставляет меня желать, чтобы у меня все еще был класс, чтобы я мог поговорить об этом», — говорит он.
Среди других тригонометрических доказательств теоремы, появлявшихся в прошлом, есть и те, что описаны на сайте математика Александра Богомольного. Один из них был создан Джейсоном Зимбой, в то время физиком и математиком из Беннингтонского колледжа, и опубликован в Геометрический форум в 2009 году. В этом доказательстве использовалось тригонометрическое тождество, которое позволяет вычислить косинус и синус угла. Икс – у без использования теоремы Пифагора – если вы знаете косинусы и синусы Икс и у самостоятельно.
26 октября 2009 г. Богомольный добавил доказательство Зимбы на свой веб-сайт, написав: «Элиша Лумис, я и, несомненно, многие другие считали и до сих пор считают, что никакое тригонометрическое доказательство теоремы Пифагора невозможно… Я с радостью признаю, что нахожусь в неправильный.” Со временем Богомольный добавил на сайт больше тригонометрических доказательств: одно такое доказательство можно было написать всего в четыре строки.
Сага показывает, как нас может удивить даже самая простая математика. «Думаю, математики научились не делать смелых заявлений о том, что что-то невозможно, потому что за эти годы мы слишком много раз смущались, делая это», — говорит Андерсон.
Американское математическое общество призвало студентов из Нового Орлеана представить свои доказательства для публикации в рецензируемом научном журнале.
