Эти многовековые уравнения прогнозируют плавную жидкость-пока они не будут

Ниже приводится выдержка из нашей новостной рассылки «Потерянные в пространстве времени». Каждый месяц мы передаем клавиатуру физику или математику, чтобы рассказать вам об увлекательных идеях из их угла вселенной. Ты можешь Зарегистрируйтесь на Lost in Space-Time здесьПолем

Уравнения Navier-Stokes использовались для моделирования потока жидкостей в течение почти 200 лет-но мы все еще не понимаем их. Это часто может чувствовать себя немного странным, особенно когда мы полагаемся на эти уравнения каждый день, чтобы помочь строить ракеты, проектировать лекарства и понять изменение климата. Но вот где вы должны думать как математик.

Уравнения работают. Мы не сможем использовать их для такого широкого спектра приложений, если бы они этого не сделали. Но только потому, что что -то работает, и мы знаем, как это использовать, не означает, что мы понимать это.

На самом деле это не слишком отличается от многих алгоритмов машинного обучения. Мы знаем, как их настроить, мы пишем код, чтобы обучить их, и видим, что они выводят. Но как только мы нажимаем, они берут на себя собственную жизнь и используют любые методы, которые они могут в стремлении к оптимизации своих результатов. Вот почему мы часто используем термин «черный ящик», чтобы описать шаги между входом и выводом – мы не понимаем точно, что делают алгоритмы, мы просто знаем, что это работает.

И это также то, что происходит с уравнениями Навье-Стоукса. У нас есть лучшее представление о том, что происходит под капотом, чем мы делаем со многими программами машинного обучения – как может подтвердить ряд невероятных решателей вычислительной жидкости, но по какой -то причине в определенных ситуациях эти уравнения сломаются. Они просто выводят чушь. И выяснить, почему это происходит Проблемы с призом тысячелетияранее семь, теперь шесть, самые сложные нераскрытые проблемы в современной математике. Это означает, что решение аномалий Navier-Stokes стоит вознаграждения в 1 миллион долларов.

Чтобы понять проблему, давайте сначала посмотрим на сами уравнения Навье-Стоукса-в частности, версии, используемые для моделирования динамики «несжимаемой ньютоновской жидкости». Это жидкость, похожая на воду – то, что, в отличие от воздуха, не может быть раздавлена очень легко. (Существует более общая версия уравнений, но это версия, с которой я потратил четыре года, работая, чтобы завершить свою докторскую диссертацию, и поэтому это версия, которую я вам здесь представлю.)

Уравнения, показанные выше, по общему признанию, выглядят слегка ужасно, но они получены из двух хорошо понятых законов вселенной: сохранение массы и второй Ньютон закон движенияПолем Например, первое уравнение – где u – это скорость участка жидкости, – утверждает математически, если жидкость перемещается вокруг и изменяет форму, но не добавляется или удаляется из нее, то ее масса остается неизменной.

Второе уравнение – довольно сложный способ выражения знаменитого Ньютона F = onприменяется к жидкому участку с плотностью (Rho или ρ). Точнее, скорость изменения линейного импульса нашей жидкости (показанная левой стороной уравнения) равна силе, применяемой к нему (правая сторона уравнения). Термин с левой стороны-это в основном ускорение массового времени. Это оставляет термины на правой стороне-давление (P), вязкость (μ) и силы тела (F)-для представления сил, действующих на жидкость.

Все идет нормально. Уравнения получены из двух очень разумных и очень надежных законов вселенной. И, как упоминалось ранее, уравнения Navier-Stokes работают невероятно хорошо. Пока они этого не сделают.

Возьмите эту установку – поток 2D жидкости вокруг правого угла. Жидкость приближается к углу, вынуждена повернуться формой канала и продолжается в пути. Вы можете построить версию этого эксперимента в лаборатории и посмотреть, как он развернулся на ваших глазах – и, действительно, многие лаборатории по всему миру сделали это. Это не особенно интересно: жидкость течет за углом, и мир продолжает поворачиваться.

Но что происходит, когда вы пытаетесь решить эту ситуацию с уравнениями Navier-Stokes? Что ж, уравнения моделируют поток всего, что ведет себя как жидкость, и, учитывая начальную конфигурацию, они расскажут вам, как скорость, давление, плотность и другие признаки будут развиваться с течением времени. Итак, мы вводим настройку и что мы получаем? Вывод говорит нам, что скорость на углу бесконечна. Не просто чрезвычайно большой, но и на самом деле бесконечный.

Что? Очевидно, это неправда. Я могу лично засвидетельствовать, что посмотрел этот точный эксперимент, и ничего обездоленного не произошло. Так что же происходит? Нам каким -то образом удалось сломать уравнения. И на самом деле это то, где математики взволнованы …

Почти каждый раз, когда я посещаю школу и общаюсь со студентами в процессе подачи заявления в университет, они, естественно, спрашивают меня о процессе приема в Оксфорд и Кембридж (я провожу интервью с приемами в обоих университетах каждый год). Я объясняю, что у меня есть список вещей, которые я ищу в сильном заявителе, но одним из самых важных является способность «мыслить как математик». И это именно то, что я имею в виду, когда говорю, что нарушение уравнений – это то, что действительно интересует математиков.

Если уравнение или модель работает в 99,99 % случаев-и оно выводит полезные, практические результаты, которые можно использовать для решения реальных проблем-тогда это невероятно успешно. Вот почему, несмотря на то, что иногда ломается, уравнения Navier-Stokes изучаются инженерами, физиками, химиками и даже биологами. И они используются для решения множества сложных и важных проблем.

Если вы хотите построить более быстрый автомобиль Формулы 1, вам нужно использовать силу воздушного потока, требуя понимания движения воздуха. Если вы хотите спроектировать фармацевтический препарат, который может быть доставлен туда, где это необходимо в организме как можно быстрее, вам необходимо понять динамику кровотока. Если вы хотите предсказать влияние выбросов углекислого газа на глобальный климат, вам необходимо понять взаимодействие между атмосферой и океаном. Поскольку каждый сценарий включает в себя движение жидкости-то, что меняет форму, чтобы заполнить его контейнер-уравнения Navier-Stokes используются во всех этих сценариях.

Но решение такого широкого спектра сложных проблем, каждая из которых со своей богатой динамикой, очевидно, требует сложного набора уравнений – следовательно, причина, по которой наше понимание в настоящее время не хватает. На самом деле, именно поэтому уравнения Navier-Stokes включены в проблемы тысячелетия. Чиновник утверждение об этих уравнениях Из Института математики глины подчеркивается необходимость улучшить наше понимание как ключевую концепцию в основе вопроса о миллионах долларов:

«Волны следуют за нашей лодкой, когда мы блуждаем по озеру, и турбулентные воздушные течения следуют нашему полету в современном самолете. Математики и физики считают, что объяснение и предсказание как бриза, так и турбулентности можно найти через понимание решений для уравнений флота-сток. Хотя эти уравнения были написаны в 19-м веке, наше понимание остается минимальной. Разблокируйте секреты, спрятанные в уравнениях Навье-Стоукса ».

Итак, как вы улучшаете понимание уравнения? Ответ, как я объясняю ученикам старших классов почти ежедневно, вы бросаете в него все, что можете, пока он не сломается. Эта трещина на поверхности находится на вашем пути. Затем вы продолжаете копать и исследовать, пока, казалось бы, невозможной внешний вид внезапно не разбится, чтобы обнаружить скрытое сокровище внизу.

Возьмите исторический пример решения квадратичных уравнений. То есть попытка найти значения x, которые удовлетворяют уравнению формы топор² + bx + c = 0Полем Те из вас, кто знаком с этим типом проблемы (обычно изучаемых во время математики GCSE), распознают квадратичную формулу, которая дает нам два корня квадратного уравнения.

Это уравнение работает почти все время. Мы заменяем значения A, B и C из квадратичного уравнения, которое мы хотим решить, и выводит два решения. За исключением того, что есть какая -то ситуация, когда она не работает. А именно, когда беременный² – 4AC <0поскольку в этом сценарии квадратный корень больше не имеет смысла. Мы нашли ситуацию, когда уравнение ломается.

Или это? Математики в 16^тур и 17^тур Столетия имела идею использовать эти точные ситуации-когда квадратное уравнение, по-видимому, ломается-вместо этого определить новый тип числа: «воображаемые числа», которые являются результатом отрицательных чисел квадратных корней. Это новое понимание привело к введению сложных чисел и всей богатой математической структуры, которая с тех пор последовала.

Это в двух словах. Мы часто узнаем больше о проблеме, модели или уравнении с тех редких времен, что она не работает, чем из подавляющего большинства других случаев, когда она работает отлично. Для уравнений Навье-Станса эти редкие случаи не работы включают сценарии, в которых они сообщают нам скорость для 2D жидкости, проходящей по прямую уголу, бесконечна. Другие подобные ситуации возникают при моделировании процессов воссоединения вихря и разделения мыльной пленки. Это реальные явления, которые мы можем воссоздать в лаборатории, но попытка смоделировать их с уравнениями Навье-Стоукса приводит к, казалось бы, бесконечной сложности, и тенденции переменной внутри системы становится бесконечной.

Эти кажущиеся неудачи могут на самом деле рассказать нам о наших математических моделях гораздо глубже. Но именно то, что это остается для дебатов. Может быть, это проблема с уровнем детализации численного моделирования. Может быть, это предположение, что отдельные молекулы жидкости ведут себя как континуум.

Или, может быть, эти нарушения инцидентов раскрывают что-то о внутренней структуре самих уравнений Навье-Стоукса. И это приводит нас на шаг ближе к разблокировке их секретов.

Том Кроуфорд является математиком в Оксфордском университете и спикер в этом году‘S будет предстоящим Новый ученый живетПолем

Темы: