Звонок на звонок (математика) | Наука

Путешествие по истории математики приводит к неожиданным местам, в данном случае к колокольням Англии 17 века. В то время группы английских звонарей регулярно собирались, чтобы попрактиковаться в искусстве звона в колокола. Они намеревались звонить в колокола колокольни во всех возможных порядках без повторения. Интерес был таков, что по этому поводу было написано несколько трактатов, в том числе «тинтинологияРичард Дакворт и Фабиан Стедман. Эта проблема предвосхитила раздел математики, называемый теорией групп.

Количество возможных способов, которыми мы можем заказать н колокола н! (читать п факториал) и равен н“=”н.(н-1).(н– 2) …3.2.1. Таким образом, в колокольне с шестью колоколами их 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 различных способов их воспроизведения; но мало перечислить эти возможные порядки и играть один за другим, нужно соблюдать определенные правила.

Во-первых, звонари не могут носить с собой «ноты», описывающие последовательность команд. Поэтому приходится искать шаблон, который легко запомнить, что-то, что само по себе не слишком сложно. Проблема появляется из-за ограничений, связанных с самой природой вытяжек. Они тяжелые, они установлены на колесах., и его ритм трудно изменить. На практике это означает, что между одной настройкой и другой можно изменить только порядок звонков, которые звонили подряд.. Например, если у нас есть четыре колокольчика, и мы называем их A, B, C, D, последовательность ACDB указывает, что мы играем сначала A, затем C, затем D и, наконец, B. Таким образом, после ACDB мы можем играть CADB или ACBD или даже КАБР. Однако после ACDB мы не можем звучать DCAB. Кроме того, из эстетических соображений вы должны начинать и заканчивать с одинаковой конфигурацией. Таким образом, если вы начинаете с ABCD, вы должны пройти все конфигурации с соблюдением предыдущего правила и без повторений, чтобы снова оказаться в ABCD.

Можно и не очень сложно найти паттерн, удовлетворяющий указанным выше правилам рекурсивный путь. То есть, зная паттерн для определенного количества колокольчиков, можно разработать паттерн для игры еще на один колокольчик. Различные решения этого стиля предлагались на протяжении всей истории. Например, ученый-компьютерщик Дональд Кнут в своем знаменитом Искусство вычисленийцитирует алгоритм Питера Манди 1653 года, который позволяет это сделать.

Последнее условие паттернов связано с громкостью. Мода 17 века диктовала, что в колокол нельзя звонить в одну и ту же позицию три раза подряд. Теперь у нас есть вызов! Стедман нашел решение этой проблемы с пятью колокольчиками, что записано в его «Тинтинналогии». Его покровитель, известный как Двойники Стедманатесно связана с тем, как группа изометрии правильного пятиугольника появляется как подгруппа группы перестановок колокольчиков. Если вы не понимаете, о чем мы говорим, не волнуйтесь, Стедман тоже не поймет. Это понятия из области математики, которая не была формализована до тех пор, пока два века спустя, теории групп.

Искусство колокольного звона сохраняет своих последователей в Англии. В 1963 г. восемь английских звонарей они играли в Литейный завод Лафборо Белл восемь колоколов во всех возможных порядках и без повторения (всего 40 320 различных конфигураций). Для этого они использовали 17 часов и 58 минут. Продолжается и поиск различных музыкальных паттернов. В настоящее время он рассматривается с позиции, связывающей теорию групп и теорию графов. В частности, последовательность, в которой играют разные порядки колоколов, соответствует Камино на определенном графике (т. Графо де Кейли связанный с группой перестановок), а ограничения, наложенные на образец, эквивалентны свойствам искомого пути. Такой подход уже появился в работе Роберт А. Рэнкин 1948 г., в котором он решил задачу о колоколах 1741 г., и сохранился в современных работах, таких как Это о Это.

Яго Антолин Он является аспирантом Автономного университета Мадрида и членом ICMAT.

Каролина Вальехо Хуан де ла Сьерва — исследователь Автономного университета Мадрида и член ICMAT.

Кофе и теоремы это раздел, посвященный математике и среде, в которой они создаются, координируемый Институтом математических наук (ICMAT), в котором исследователи и сотрудники центра описывают последние достижения в этой дисциплине, делятся точками соприкосновения между математикой и другими социальных и культурных выражений и вспомнить тех, кто отметил их развитие и знал, как превратить кофе в теоремы. Название напоминает определение венгерского математика Альфреда Реньи: «Математик — это машина, которая превращает кофе в теоремы».

Редакция и согласование: Тимон Агат (ИКМАТ).

Вы можете следить Материя в Фейсбук, Твиттер, Инстаграм или подпишитесь здесь на наш Новостная рассылка