Как гарантировать выигрыш в лотерее Великобритании (даже если он того не стоит) | Кофе и теоремы | Наука

Несколько месяцев назад несколько СМИ, оба авторитетные издания подобно таблоидам, утверждали, что нужно купить всего 27 билетов, чтобы быть уверенным в получении приза на Национальная лотерея Великобритании. С момента приближения Рождественская лотерея, сейчас самое время обратиться к математике, стоящей за этими заголовками. Эта новость была основана на недавнем прогрессе в комбинаторике, предложенном Дэвид Кушинг й Дэвид Стюарт, математики из Манчестерского университета. Его работа находится на рецензировании и доступна как препринт, включает в себя несколько интересных комбинаторных объектов, называемых лотерейными планами, которые представляют собой коллекции подмножеств чисел от 1 до n. Например, если мы рассмотрим числа {1, 2, 3}, набор из трех подмножеств будет {{1}, {2, 3}, {3}}. Чтобы эта коллекция была лотерейной, она должна соответствовать другим дополнительным свойствам.

В частности, план лотереи для параметров n, k и t представляет собой набор C подмножеств из k-элементов V = {1, 2, …, n}, в котором, если мы возьмем любое подмножество из k-элементов W из V, существует подмножество C, которое имеет как минимум t общих элементов с W. Если мы рассмотрим лотерею, в которой k выигрышных номеров вытягивается из n чисел, каждый билет соответствует одному из этих подмножеств. Итак, лотерейная схема — это набор билетов, в котором гарантированно должно быть не менее t общих номеров с номерами выигрышного билета.

Естественно, идеальная лотерея — это та, в которой используется минимально возможное количество билетов. Это минимальное число обозначается как L(n,k,t). Например, L(56,6,2) — это наименьшее количество билетов, которое потребуется, чтобы получить как минимум два совпадающих номера в лотерее, в которой из 56 вытягиваются шесть выигрышных номеров. Именно так работает Национальная лотерея Великобритании и как выигрывается наименьший приз, поэтому L(56,6,2) — это именно наименьшее количество билетов, необходимое для гарантирования любого выигрыша в этой лотерее. Результат Кушинга и Стюарта говорит, что это число равно 27.

В общем, точные значения L(n,k,t) найти крайне сложно, и в большинстве случаев они близки, в диапазоне возможных значений. До этой работы самая известная нижняя граница L(56,6,2) была 23, а это означает, что для гарантированного выигрыша приза необходимо как минимум 23 билета. В 1998 году Джон Бейт и Геррит Хендрик Йоханнес ван Рис. вычислил точные значения L(n,6,2) для всех ns, меньших или равных 54 — кстати, этот результат точно показывает, сколько билетов вам нужно купить в Техасской лотерее, чтобы гарантировать выигрыш, но он, очевидно, не получил никакого освещения в СМИ.

Кушинг и Стюарт расширили методы, использованные Бэйтом и Ван Рисом, вычислив L(n,6,2) не только для n = 56, но и для всех n до 61. Для этого они сначала показали, что существует конструкция лотерея размером 27 с использованием методов конечной геометрии – раздела геометрии, изучающего пространства, содержащие конечное число точек. В его конструкции используется так называемый План Фано, пространство, состоящее из семи точек и семи линий, каждая из которых состоит из трех точек, со следующими свойствами: любая пара точек находится на одной прямой, и любая пара прямых пересекается ровно в одной точке. В частности, они объединяют три плоскости Фано с двумя другими конечными плоскостями. Связывая уникальную пару чисел с каждой точкой, каждая линия помечается уникальным набором из шести чисел, а особые свойства этих конечных плоскостей гарантируют, что этот набор наборов представляет собой лотерейный макет размера 27.

Во-вторых, самое сложное: чтобы показать, что размер этого дизайна минимален, они показали, что не существует лотерейного дизайна размером 26 или меньше. Для этого Кушинг и Стюарт использовали язык программирования под названием Пролог. Чтобы написать и запустить программу на Прологе, вы вводите список правил для работы, а затем задаете вопросы, основанные на этих правилах. В принципе, можно уточнить определение схемы лотереи и спросить, существует ли схема размера 26. Однако при нынешних скоростях вычислений это может занять десятилетия или даже столетия. Используя умелое сочетание верхних и нижних границ и различные комбинаторные методы, Кушинг и Стюарт сузили пространство поиска, направив движок Пролога к окончательному ответу.

Конечно, сразу возникает два вопроса: «Можно ли это использовать, чтобы заработать деньги, играя в лотерею?» и «можно ли это применить к Эль-Гордо?» Ответ на оба вопроса, к сожалению, отрицательный. Разыгрывание этих 27 билетов не является хорошей стратегией для зарабатывания денег на британской лотерее. Это стоит 54 фунта стерлингов, и единственный гарантированный приз — то, что один из ваших номеров совпадет с выигрышным номером, состоящим из двух цифр, — это просто новый билет, выбранный случайным образом в следующем розыгрыше, который практически не имеет никакой ценности. Кушинг и Стюарт проверили свое предложение и потеряли в общей сложности 54 фунта стерлингов, придя к выводу, что «этот досадный инцидент служит как подтверждением нашего результата, так и тем, что нам следует ожидать потери денег при ставках». Эти заявления редко попадают в заголовки газет.

Что касается Испанская рождественская лотерея, структура розыгрыша гарантирует, что ни одна такая стратегия не сработает. В отличие от Великобритании и многих других стран, для каждого выигрышного номера проводится отдельный случайный розыгрыш. Не существует стратегии выигрыша денег в рождественской лотерее. Поэтому в заключение я рекомендую, если вы играете, делайте это ответственно.

Ричард Мандель Он является постдокторантом Института программных систем Макса Планка (Германия).

Редактирование, перевод и координация: Агат А. Раддер Г Лонгория (ИКМАТ).

Кофе и теоремы — это раздел, посвященный математике и среде, в которой она создается, координируемый Институтом математических наук (ICMAT), в котором исследователи и члены центра описывают последние достижения в этой дисциплине, делятся точками соприкосновения математики и других социальных и формы культурного самовыражения и вспоминаем тех, кто отметил их развитие и умел превращать кофе в теоремы. Название напоминает определение венгерского математика Альфреда Реньи: «Математик — это машина, которая превращает кофе в теоремы».

Вы можете следить МАТЕРИЯ в Фейсбук, Икс е Инстаграмнажмите здесь, чтобы получить наш еженедельный информационный бюллетень.