Комбинаторные расчеты | Игра в науку

Вторая строфа секстина. как мы видели на прошлой неделе, меняет местами окончания шести стихов от ABCDEF до FAEBDC. Если мы применим те же критерии для перехода от второго к третьему, от третьего к четвертому и так далее, мы получим последовательность:

ABCDEF, FAEBDC, CFDABE, ECBFAD, DEACFB, BDFECA.

А если заменить традиционные заглавные буквы, которые в поэтической нотации обозначают окончания стихов крупного искусства, на цифры и расположить последовательности, соответствующие последовательным строфам, по вертикали, то получим следующую схему:

1 6 3 5 4 2

2 1 6 3 5 4

3 5 4 2 1 6

4 2 1 6 3 5

5 4 2 1 6 3

6 3 5 4 2 1

Ни в одной строке или столбце нет повторяющихся цифр, поэтому схема сестины похожа на сокращенное судоку, с числами от 1 до 6 вместо 1 до 9. Хотя для математиков раньше судоку — это латинский квадрат. И на этот раз поэзия могла предшествовать математике, поскольку первые сестины были сочинены в XII веке окситанским трубадуром Арнаутом Даниэлем, а первые латинские квадраты (названные Эйлером гораздо позже), о которых появились известия, – это вафк маджази из арабской рукописи XIII века.

Комбинаторная теория дизайна

Что же касается оставшейся нерешенной задачи (выяснение того, сколькими способами семь элементов можно сгруппировать в семь групп по три элемента, если они должны появиться в одинаковом количестве групп и по два только в одной группе), то вот решение, предоставленное Игнасио Алонсо:

«Каждый элемент будет в трёх тройках. К P. Например, 7, связанное трио, содержащее 6, будет с дуэтами 65, 64… 61 (возможно 5). Если первое число равно 765, то второе, связанное с числами 4, может быть 743, 742 или 741 (3 возможности), а третье, связанное с 765 и 743, может быть только 72. Итого, 5 × 3 = 15 групп из трех возможных троек, которые содержат 7. Четыре оставшихся тройки без 7, связанные с группой из этих 15, будь то 765, 743, 721, содержат в два раза больше 65, 64… 61. С 6 возможными числами являются 642, 631 или 641, 632 (2 возможности), для каждого из этих двух, например 642, 631, только один партнер, 541, 532, чтобы завершить эту группу из четырех троек, тогда 15 × 2 = 30 будут группами из 7 возможных троек. ».

Как мы видели, эту задачу можно считать упрощенной версией классической «Проблема школьницы» Киркмана, из которых имеется только семь неизоморфных решений (т.е. неэквивалентных структур). Но если мы добавим изоморфные решения, это число значительно увеличится (сможете ли вы его посчитать?).

Эти проблемы, а также латинские квадраты, связаны с так называемой «комбинаторной теорией замысла», разработанной на основе новаторских работ Леонард Эйлер, Томас Киркман, Якоб Штайнер, Эдуард Лукас и другие великие математики XVIII и XIX веков; теория, которая, кстати, во многом обязана развлекательной математике. Но это уже другая статья.

Вы можете следить МАТЕРИЯ в Фейсбук, Икс е Инстаграмнажмите здесь, чтобы получить наш еженедельный информационный бюллетень.