Кузнец молний | Игра в науку

«Оральная обезьяна» прошлой недели вызвало широкую и интересную дискуссию (см. комментарии Двугранная система). Это проективное представление двухцилиндрического тела Штейнмеца: пересечение двух цилиндров одинакового радиуса, оси которых перпендикулярны друг другу (существует также трехцилиндрическое тело Штейнмеца, представляющее собой пересечение трех цилиндров одинакового радиуса). оси которых перпендикулярны друг другу и пересекаются в одной точке). Это форма, хорошо известная архитекторам, поскольку, когда два полуцилиндрических коридора пересекаются перпендикулярно, они образуют свод, очень распространенный в романских церквях, называемый монастырским сводом, который представляет собой рассеченный двухцилиндровый штейнмецевский свод.

Эти твердые тела названы в честь плодовитого немецкого математика и инженера Карла Протеуса Штейнмеца (1865-1923), определившего их объем. Хотя он и не был первым: гениальный Архимед, опередивший интегральное исчисление на две тысячи лет, уже определил его. Можете ли вы подражать Архимеду и вычислить объем пересечения двух цилиндров единичного радиуса, не прибегая к интегралам? А площадь его поверхности? Видите ли вы какую-либо связь с объемом и площадью сферы?

Недавно мы говорили о применении комплексных чисел (например, для обнаружения зарытого клада или доказательства теоремы Наполеона), и следует отметить, что Штейнмец эффективно применял их для изучения цепей переменного тока, и его работы, как теоретические, так и экспериментальные , они сыграли фундаментальную роль в замене постоянного тока переменным и, следовательно, в промышленном развитии США в конце 19 — начале 20 века. Кроме того, он разработал новый и очень безопасный тип громоотвода, за что получил прозвище «Кузнец молний».

Что касается трёх ортоэдральных проекций, показанных на прошлой неделе, то в одной из них есть ошибка (можете сказать, в какой?). И это, в перспективе, то твердое тело, которое порождает еще один из прогнозов:

Теорема Наполеона III

И возвращаясь к Теорема Наполеона, мы тогда задавались вопросом, можно ли экстраполировать это на трехмерное пространство (отсюда и Наполеон III: в данном случае III означает 3D). То есть:

Если для любого тетраэдра построить на каждой из его граней два равногранных тетраэдра (с четырьмя равными гранями), то их соответствующие барицентры (а также вписанные и описанные центры) будут вершинами нового тетраэдра, который по аналогии с треугольником Наполеона , мы назовем его «Наполеоновский тетраэдр». Каким он будет: правильным, похожим на первоначальный тетраэдр…? А что происходит с особыми вершинами четырех тетраэдров, то есть с теми, которые лежат напротив граней исходного тетраэдра? Но прежде чем обратиться к сложной и многогранной (каламбур) теореме Наполеона III, стоит решить более простую задачу:

Очевидно, что если исходить из правильного тетраэдра, то центры четырех тетраэдров, построенных на его гранях, будут вершинами правильного наполеоновского тетраэдра. Можете ли вы посчитать его объем? Точно так же, как Красная Шапочка идет в дом к бабушке, к решению можно прийти самым длинным или самым коротким путем.

Вы можете следить МАТЕРИЯ в Фейсбук, Икс е Инстаграмнажмите здесь, чтобы получить наш еженедельный информационный бюллетень.