Математика: 2024 год и тетраэдрические числа | Игра в науку

Придется начать с исправления упущения: на прошлой неделе я говорил о 2024 году и квадратно-пирамидальных чисел, и я не упомянул, что 2024 тоже пирамидальное число, хотя и не квадратное, а треугольное. К счастью, мои добрые читатели обычно знают: Хавьер Тамамес напомнил мне, что 2024 год — это тетраэдрическое число (так еще называют треугольные пирамидальные числа) и Игнасио Ларроса прислали красноречивую визуализацию в виде треугольной пирамиды из сложенных друг на друга сфер, 22 уровня которой в сумме дают 2024.

Пирамида, основанием которой является треугольник, является тетраэдром, поэтому треугольные пирамидальные числа еще называют тетраэдрическими. Если при визуализации укладки сфер сложить сферы каждого уровня, начиная сверху, то получим последовательность чисел тетраэдров (соответствующую количеству сфер тетраэдров 1, 2, 3, 4… сферы с каждой стороны): 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364…

Последовательные уровни пирамиды, в свою очередь, образуют последовательность треугольных чисел (отображаемых в виде равносторонних треугольников сфер):

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78…

И, следовательно, n-е тетраэдрическое число (Tn) представляет собой сумму первых n треугольных чисел:

Т1 = 1

Т2 = 1 + 3 = 4

Т3 = 1 + 3 + 6 = 10

Т4 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20

Т5 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

…

Т22 = 1 +3 + 6 + 10 + 15 + 21 + 28… + 210 + 231 + 243 = 2024

Можете ли вы найти формулу, позволяющую определить, что двадцать второе тетраэдрическое число равно 2024, без необходимости выполнять предыдущее длинное сложение?

Немного сложнее: Сравнивая два списка выше, мы видим совпадение: 10, что означает, что третье тетраэдрическое число равно четвертому треугольному числу. Можете ли вы найти еще числа, одновременно треугольные и тетраэдрические?

Еще сложнее: среди первых тетраэдрических чисел есть два идеальных квадрата: 1 и 4. Сможете ли вы найти еще или доказать, что их не существует?

Письма Зенера

Помимо того, что я преподавал научные коммуникации, Мартин Гарднер Он был неустанным разоблачителем заблуждений, лженауки и различных паранормальных явлений, а иногда иронически использовал аргументы магуфос или их инструменты в качестве сырья для своих математических увлечений.

В интересной статье, опубликованной Мануэлем Аморосом, Гарднер начинает с писем Зенера (сегодня преданных заслуженному забвению, но когда-то очень популярных), в которых оценивались предполагаемые телепатические способностиподнять интересную проблему покрытий, вызвавшую оживленную дискуссию среди читателей (посмотреть комментарии за прошлую неделю).

Какой из этих пяти символов можно нарисовать на бумаге алеф 1 раз, предполагая, что они нарисованы идеальными линиями, без толщины, не перекрываются и не пересекаются друг с другом? Символы могут быть разного размера, но геометрически они должны быть одинаковыми. Давайте вспомним, что алеф 1 — это бесконечное, неисчисляемое число вещественные числа.

Оказывается, все символы, кроме одного, можно нарисовать алеф 1 раз. Можете ли вы сказать, какой именно и почему? Двойной вопрос с двумя уровнями сложности, потому что относительно легко продемонстрировать, что четыре символа, которые можно вытянуть, бесчисленное (буквально) количество раз выпадают, таким образом определяя путем исключения тот, который не является таковым. Но продемонстрировать, почему это не так, уже не так просто, и сам Гарднер ограничивается наметкой не совсем ясного решения.

Вы можете следить МАТЕРИЯ в Фейсбук, Икс е Инстаграмнажмите здесь, чтобы получить наш еженедельный информационный бюллетень.