Математическая «теорема о волосатом шаре» имеет неожиданные последствия

Вы можете быть удивлены, узнав, что вы не можете расчесать волосы на кокосовом орехе, не создав вихорку. Возможно, еще более удивительным является то, что это глупое утверждение с еще более глупым названием «теорема о волосатом шаре» является гордым открытием из области математики, называемой топология. Помимо юношеского юмора, эта теорема имеет далеко идущие последствия в метеорологии, радиопередаче и атомная энергия.

Здесь «коврик» может означать либо лысину, либо пучок волос, торчащий вверх, как у персонажа Люцерна спорт в Маленькие негодяи. Конечно, математики не ссылаются на кокосы или вихры при постановке задачи. Говоря более техническим языком, подумайте о кокосовом орехе как о сфере, а о волосках — как о векторах. Вектор, часто изображаемый стрелкой, — это просто нечто, имеющее величину (или длину) и направление. Если расчесать волосы по бокам кокосового ореха, это будет эквивалентно касательные векторов— те, которые касаются сферы ровно в одной точке по ее длине. Кроме того, нам нужна гладкая расческа, поэтому мы не допускаем разделения волос на пробор. Другими словами, расположение векторов на сфере должно быть непрерывный, это означает, что близлежащие волоски должны менять направление только постепенно, а не резко. Если сшить эти критерии воедино, то теорема говорит, что как ни пытайся сопоставлять векторы каждой точке на сфере, обязательно произойдет что-то безобразное: будет разрыв (часть), вектор нулевой длины (лысый пятно) или вектор, который не касается сферы (люцерна). На полном жаргоне: непрерывное неисчезающее касательное векторное поле на сфере не может существовать.

Это утверждение распространяется на все виды пушистых фигурок. в область топологии, математики изучают формы, как и в геометрии, но они воображают, что эти формы сделаны из вечно эластичной резины. Хотя эта резина способна формироваться в другие формы, она не способна разрываться, сплавляться или проходить сквозь себя. Если одну форму можно плавно деформировать в другую, не выполняя этих действий, то эти формы эквивалентны с точки зрения топологов. Это означает, что теорема о волосатом шаре автоматически применяется к волосатым кубам, волосатым плюшевым животным и волосатым бейсбольным битам, которые топологически эквивалентны сферам. (Вы можете слепить их всех из шарика Play-Doh, не нарушая правила резины.)

То, что не эквивалентно сфере, — это ваш скальп. Сам по себе скальп можно пригладить к поверхности и расчесать в одном направлении, как волокна на ворсистом ковре. К сожалению, математика не может оправдать вашу изголовье. Пончики также отличаются от сфер, поэтому волосатый пончик— без сомнения, неаппетитный образ — можно гладко причесать.

Вот любопытное следствие теоремы о волосатом шаре: всегда будет по крайней мере одна точка на Земле, где ветер не дует по поверхности. Ветер течет в непрерывной циркуляции вокруг планеты, и его направление и величина в любом месте на поверхности могут быть смоделированы касательными к земному шару векторами. (Векторные величины не обязательно должны представлять физические длины, например длины волос.) Это соответствует предпосылкам теоремы, которая подразумевает, что порывы ветра должны где-то умирать (создавая вихор). Вихрь может возникнуть в глаз циклона или водоворот, или это могло случиться, потому что ветер дует прямо к небу. Этот удобный онлайн-инструмент изображает современные ветровые течения на Земле, и вы можете четко разглядеть закрученные вихры.

Чтобы увидеть еще одно странное разветвление теоремы, вращайте баскетбольный мяч как хотите. На поверхности всегда будет точка с нулевой скоростью. Опять же, мы связываем касательный вектор с каждой точкой на основе направления и скорости в этой точке на шаре. Вращение — это непрерывное движение, поэтому применима теорема о волосатом шаре, которая обеспечивает точку без скорости вообще. При дальнейшем размышлении это может показаться очевидным. Вращающийся шар вращается вокруг невидимой оси, и точки на обоих концах этой оси не двигаются. Что, если мы просверлим крошечное отверстие в шаре точно вдоль этой оси, чтобы удалить неподвижные точки? Тогда кажется, что каждая точка будет двигаться. Нарушает ли это теорему о волосатых шарах? Нет, потому что просверлив отверстие, шарик превратился в пончик! Даже пончики с необычайно длинными и узкими отверстиями нарушают правила теоремы — противоречие предотвращено.

Отойдем от игрушечных сценариев — теорема о волосатом шаре накладывает на радиоинженеров ощутимые ограничения. Антенны передают радиоволны в разных направлениях в зависимости от выбора конструкции. Некоторые направляют свои сигналы в определенном направлении, в то время как другие излучают более широко. Может возникнуть соблазн упростить дело и построить только антенны, которые посылают сигналы одинаковой силы во всех направлениях одновременно, которые называются изотропными антеннами. Есть только одна проблема: некий шероховатый факт из топологии утверждает, что изотропные антенны не могут существовать. Представьте себе сферу волн, исходящих из центрального источника. На достаточном расстоянии от источника радиоволны создают электрическое поле, перпендикулярное направлению их распространения, что означает, что поле касается сферы волн. Теорема о волосатом шаре утверждает, что это поле должно где-то упасть до нуля, что подразумевает помехи в сигнале антенны. Изотропные антенны служат просто теоретическими идеалами, с которыми мы сравниваем реальные характеристики антенны. Интересно, что звук передает волны другого типа без свойства перпендикулярности радиоволн, поэтому возможны громкоговорители, излучающие звук одинаковой интенсивности во всех направлениях.

Возможно, самое крутое применение теоремы о волосатом шаре касается энергии ядерного синтеза. Сила термоядерного синтеза сулит огромные перспективы…возможно когда-нибудь— помочь смягчить энергетический кризис. Он имеет возможность генерировать огромное количество энергии без экологических проблем, характерных для ископаемого топлива, и с гораздо меньшими радиоактивными рисками, связанными с традиционными ядерными реакторами деления. В двух словах, термоядерные реакторы начинают с того, что берут топливо, такое как водород, и подвергают его интенсивному нагреву и давлению, которые разрывают его на составные части с образованием плазмы. Плазма — это облако электронов и других заряженных частиц, которые скачут вокруг и иногда сливаются вместе, образуя новые частицы, высвобождая при этом энергию.

При строительстве термоядерных реакторов возникает фундаментальное инженерное препятствие: как вы держите плазма, которая в 10 раз горячее ядра Солнца? Ни один материал не может выдержать такую ​​температуру, не превратившись в плазму. Поэтому ученые придумали умное решение: они используют магнитные свойства плазмы, чтобы удерживать ее в пределах сильного магнитного поля. Наиболее естественные конструкции контейнеров (например, коробки или канистры) топологически эквивалентны сферам. Магнитное поле вокруг любой из этих структур образовало бы непрерывное касательное векторное поле, и на данный момент мы знаем, что происходит с такими волосатыми конструкциями. Ноль в магнитном поле означает течь в контейнере, что чревато катастрофой для всего реактора. Вот почему ведущая конструкция термоядерных реакторов, токамакимеет камера в форме пончика. Международный термоядерный экспериментальный реактор (ИТЭР) мегапроект планирует завершить строительство нового токамака во Франции к 2025 году, а причастные требовать их система магнитного удержания будет «крупнейшей и наиболее интегрированной сверхпроводящей магнитной системой из когда-либо созданных». Это топология играет свою роль в нашем будущем чистой энергии.

Это статья с мнением и анализом, и взгляды, выраженные автором или авторами, не обязательно совпадают с мнениями Научный американец.