1760599998
2025-10-16 06:55:00
Важнейшую связь между математикой и музыкой прекрасно иллюстрирует Тоннецгеометрическая диаграмма, представляющая гармонические отношения между нотами музыкальной гаммы.
Проблема настройки заключается в том, как разделить октаву на более мелкие, музыкально приятные шаги. Пифагор создал семь нот диатонической гаммы (известное до-ре-ми), используя только соотношения 2:1 и 3:2. Однако по мере объединения интервалов числа в отношениях вскоре становятся большими.
Упрощение этой схемы приводит к методу настройки – «просто интонация», который предполагает меньшие соотношения и является более гармоничным. В интонации три ноты трезвучия до мажор имеют высоту тона в соотношении 4:5:6.
Серьезным недостатком именно интонации является то, что ноты, настроенные на одну тональность, звучат диссонансно в другой. По мере развития музыки, при многократной смене тональности, недостатки этого метода настройки стали очевидны и была разработана более гибкая «хорошо темперированная» схема настройки. Это гарантирует, что соотношение высоты между всеми двумя соседними нотами будет одинаковым. В хроматической гамме 12 тонов общим соотношением является корень 12-й степени из двух.
Иоганн Себастьян Бах написал набор из 24 прелюдий и фуг, по одной для каждой мажорной и минорной тональности, чтобы продемонстрировать силу и универсальность хорошо темперированной системы строя.
Однако равнотемперированный строй — это компромисс: хотя ноты находятся в идеальной геометрической прогрессии, такие интервалы, как квинты, уже не идеальны. Отклонения настолько малы, что метод стал почти универсальным, хотя один пурист заметил, что «он делает все интервалы одинаково несовершенными». По правде говоря, равнотемперированная гамма — это существенный дар математики музыке.
[ Dublin Institute for Advanced Studies at 85: from Schrödinger’s catalyst to the final frontierOpens in new window ]
Были предприняты попытки сочинять музыку, используя строгие математические принципы и освобождаясь от ограничений тональной системы. Возможно, самым крайним примером этого была серийная музыка Арнольда Шёнберга, который настаивал на том, что каждая из 12 нот хроматической гаммы должна иметь равный статус и известность.
[ Let the sun shine: solar is fast becoming the world’s new energy superpowerOpens in new window ]
Шёнберг разрушил тональную основу классической музыки. Марка Твена не было рядом, чтобы услышать 12-тоновую музыку, но его описание Вагнера вполне можно применить и к Шёнбергу: «Мне говорят, что его музыка намного лучше, чем кажется!» Эйнштейн пошел еще дальше, назвав это безумием.
Додекафонную музыку можно назвать героическим провалом: сегодня о 12-тональной музыке больше пишут, чем слушают. Музыка возбуждает наши эмоции, и одних математических принципов недостаточно. Леонард Бернштейн сказал, что, хотя музыка рождена наукой, это загадочное и метафорическое искусство, и «любое объяснение музыки должно сочетать математику с эстетикой».
Питер Линч — почетный профессор Школы математики и статистики Университетского колледжа Дублина. Он ведет блог на thatsmaths.com
#Музыка #математика #неразрывно #связаны #Irish #Times
По теме
