Точный поцелуй | Игра в науку

Координаты любой точки (Р) окружности, центр которой совпадает с точкой пересечения осей (О), образуют вместе с соответствующим ей радиусом прямоугольный треугольник, в котором гипотенузой является радиус (R), а катетами координаты (x, y), поэтому, по теореме Пифагора, соотношение x² + y² = R2 будет выполняться всегда. Если радиус составляет 5 единиц, как в случае, представленном на прошлой неделе, запрошенное уравнение будет x² + y² = 25.

Аналитическая геометрия и ее декартовы координаты, несомненно, были Самый важный вклад Декарта в математику, но не единственный. Он часто поднимал и давал новый импульс давно рассмотренным вопросам, и в этом смысле стоит выделить теорему об угловых дефектах (о которой мы поговорим в другой раз) и теорему о касательных окружностях.

Теорема о четырех касательных окружностях

Учитывая три окружности, касающиеся друг друга попарно, мы всегда можем нарисовать четвертую окружность, касающуюся всех трех, которую можно вписать или описать в них.

Этот вопрос был поставлен (мы должны еще раз процитировать Великого Геометра) Аполлонием Пергским, и Декарт снова взялся за него в середине 17 века, установив связь между соответствующими кривизнами четырех кругов (помним, что кривизна окружность является обратной величиной своего радиуса, с положительным или отрицательным знаком в зависимости от того, считаем ли мы ее выпуклой или вогнутой частью).

В 1936 году английский химик Фредерик Содди (Нобелевская премия по химии 1921 г.) заново открыл эту теорему и опубликовал свою версию в журнале Природа в форме юмористического стихотворения под названием Поцелуй Точныйв котором он также распространяет это на случай пяти сфер, касающихся друг друга (если вы знаете английский, я рекомендую вам поискать оригинал, его легко найти в Интернете; в противном случае вам придется довольствоваться моей поспешной версией в eneasibos ):

Точный поцелуй

Может быть, целуемся парами

не включает тригонометрию.

Это не так, если четверо целуют друг друга

друг к трем другим,

потому что для этого им придется быть

или три в одном или один в трёх.

Если один из трех, они получат

все три поцелуя снаружи.

Если три в одном, то это будет

на троих поцеловались внутри.

Им удается поцеловать четыре круга.

Чем меньше, тем более изогнутый.

Кривизна является обратной

радиуса, расстояние до центра.

И хотя это поразило Евклида,

никакая аксиома не нужна.

Прямые линии с нулевой кривизной,

со знаком минус вогнутые линии,

это сложение его квадратов

половина квадрата суммы.

Подсматривая за сферическими беспорядками,

наблюдаю за целующимся

Это кропотливая работа,

потому что это самая беспорядочная сфера,

и теперь их больше пары пар,

Есть пять сфер для поцелуев.

Но знаки прежние,

и прикасаясь каждый к четырем,

это квадрат суммы

в три раза больше суммы квадратов.

Сможете ли вы, внимательно прочитав стихотворение, перевести его на математический язык, то есть сформулировать теорему Декарта, так же, как это сделали читатели стихотворения? Природа?

Прежде чем это сделать, вы можете попробовать нарисовать только с помощью циркуля (физического или мысленного) три окружности радиусами 1, 2 и 3, касательные два через два. Каков радиус внешней окружности, касательной к этим трем? А тот, что с внутренней касательной окружностью?

Вы можете следить МАТЕРИЯ в Фейсбук, Икс е Инстаграмнажмите здесь, чтобы получить наш еженедельный информационный бюллетень.

_