Число Пи, древняя константа, которая до сих пор бросает вызов математикам

Мы много знаем о Пи. Его иррациональность (то есть это не частное двух целых чисел) была продемонстрирована в 18 веке, а его значение (то, что он не является корнем многочлена с целыми коэффициентами) – в 19 веке. Задолго до этого число Пи сыграло центральную роль в получении формул площади и объема сферы, что стало важной вехой в древних математических знаниях.

Уже в XVIII веке Леонард Эйлер решил знаменитую тогда задачу. Базельская проблема с помощью Пи. Он вычислил сумму обратных квадратов натуральных чисел, значение, которое дзета-функция Римана принимает при n = 2, получив значение (pi²)/6. Удивительно, что число Пи, отношение длины окружности к ее диаметру, так точно связано с целыми числами. Каждое поколение математиков давало свою интерпретацию и доказательство этого равенства. Не идя дальше, я добился тест, отличный от теста Эйлеравдохновлен работами по фазовым переходам в математической физике.

Развитие алгоритмов вычисления числового значения числа «пи» восходит к древним временам. Великий Архимед еще в III веке до нашей эры. C получил несколько десятичных цифр, аппроксимировав длину круга длиной вписанных в него правильных многоугольников. Значительно позже были предложены алгоритмы, основанные на быстрых преобразованиях и методах гипергеометрических рядов (т. е. бесконечных сумм чисел) и модулярных функций. Там мы находим Рамануджана, индуистского бухгалтера из романа Дэвида Ливитта, по которому снят фильм под названием «Человек, который познал бесконечность». Рамануджан получил удивительные представления числа «пи» из рядов, которые сходятся так быстро, что позволяют нам легко получать многие тысячи десятичных цифр числа «пи».

Миллиард цифр

Формулы Рамануджана, находящиеся в руках братьев Дэвида и Григория Чудновских, профессоров Рутгерского университета, внесли один из самых важных вкладов в исчисление числа Пи в 20 веке. В 1989 году Чудновские использовали свою формулу, заимствованную из формулы Рамануджана, вместе с суперкомпьютером, который они построили у себя дома, чтобы вычислить более миллиарда цифр числа Пи, установив на тот момент мировой рекорд.

Математик из Сарагосы Хесус Гильераумерший 9 февраля, открыл новые формулы для числа пи, используя гипергеометрические функции (классические объекты математического анализа). Гильера знал, как разумно связать их с помощью компьютера, чтобы получить выражения, которые удивили специалистов и привели к прогрессу в вычислении числа Пи. Гильера, приветливый человек с простой манерой поведения, опубликовал свои «экспериментальные» формулы, которые впоследствии потребовали умения и изобретательности, чтобы добиться их строгой демонстрации.

Несмотря на все эти достижения, число Пи по-прежнему вызывает фундаментальные вопросы для исследования и связи с неожиданными теориями и контекстами, такими как уравнения электромагнетизма или уравнение общей теории относительности Эйнштейна. В теории чисел остается нерешенным ключевой вопрос: является ли число «пи» нормальным? То есть, повторяется ли в последовательности десятичных цифр какой-либо набор цифр с той частотой, которую предполагает его размер?

Обычное число содержит в десятичной форме любой текст, который мы можем написать, зашифрованный цифрами: Дон Кихот, «Начала» Евклида, полное собрание сочинений Эйлера, романы, которые восторжествуют в 21 веке… все! Хотя вероятность получить эту информацию за разумное время, меньшее, чем вечность эонов и эонов, практически равна нулю.

Таким образом, обычное число — это материализация сказочной Вавилонской библиотеки, придуманной великим Хорхе Луисом Борхесом. Мы знаем (на самом деле это легко доказать), что почти все действительные числа нормальны. Однако доказать, что конкретное число, например, пи, очень сложно. Статистический анализ 314 миллиардов известных десятичных цифр, похоже, указывает на его случайность, а это означает, что фактически все возможные цифры и комбинации будут появляться с ожидаемой частотой. Однако у нас до сих пор нет математического доказательства того, что пи на самом деле является нормальным числом.

Доказательство этого — или опровержение — остается открытой проблемой, над которой продолжают работать и которая представляет собой одну из величайших загадок, которые до сих пор окружают число Пи.

*Автор: Антонио Кордова — почетный профессор Мадридского автономного университета, обладатель Национальной исследовательской премии «Хулио Рей Пастор».

Редакция и координация: Агата Тимон (ICMAT-CSIC).

*Между теоремами — это математический раздел для всех аудиторий, продвигаемый Институтом математических наук (CSIC-UAM-UC3M-UCM).