Подбрасывая монету в воздух, она с большей вероятностью упадет на ту же сторону, с которой ее подбросили | Кофе и теоремы | Наука

Представьте, что вы берете монету и собираетесь подбросить ее в воздух. Какова, по вашему мнению, вероятность того, что выпадет решка? Имеет ли значение, с какой стороны вы его бросите? Большинство людей сказали бы, что вероятность выпадения орла составляет 50%независимо от начального положения монеты, но все не так просто.

Два предыдущих вопроса соответствуют двум разным событиям. Первый касается вероятности того, что выпадет орел или решка, это будет одно и то же. Однако второй относится к вероятности того, что выпадет орел, если перед броском монета лежала лицевой стороной вверх. Эта вторая вероятность, называемая условной, может отличаться от первой.

По этому вопросу в 2007 году математики Перис Дикон, Сьюзан Холмс и Ричард Монтгомери предложил физическую модель, которая показала небольшое смещение в пользу падения монеты при ее подбрасывании. В заключение они указали, что при подбрасывании монеты в воздух в 51% случаев она приземляется той же стороной, которой ее бросили.

Однако, если вы не знаете, как расположена монета, вероятность того, что она выпадет орел или решка, составляет 50%. Но как можно с полной уверенностью сказать, что вероятность именно такая? Это проблема оценки, то есть с самого начала мы не знаем вероятность выпадения орла и хотим правильно оценить ее значение на основе доказательств.

Самый известный подход к включению его в интерпретацию вероятность как частота, что приводит к так называемой частотной статистике. Более конкретно, в рамках этого подхода вероятность, которую мы хотим оценить, интерпретируется как доля орла, которая будет наблюдаться при подбрасывании монеты бесконечное количество раз при одних и тех же условиях. Таким образом, чтобы аппроксимировать ее, будет достаточно бросить монету большое количество раз в одних и тех же условиях и аппроксимировать истинную вероятность долей наблюдаемых орлов.

Частотный подход использовался выдающимися личностями в истории теории вероятностей и статистики, такими как граф Бюффон о Карл Пирсон. Во-первых, он подбросил монету 4040 раз, получив 2048 орлов, что представляет собой оценку вероятности 4040/2048 = 0,5069, то есть 50,69%; Второй сделал 24 000 бросков, из которых 12 012 упали, показывая лицо в 50,005% случаев.

Однако отправная точка этого подхода создает определенный парадокс: разве нельзя ожидать, что, подбрасывая монету в точно таких же условиях, мы получим тот же результат? Физика Ньютона Я бы подтвердил, что да, и на самом деле именно небольшие начальные вариации вызывают случайность результатов, поэтому парадоксально думать о предпосылке повторения. Эта отправная точка еще более неуловима при изучении вероятности заболевания… в таком случае, что следует повторить? Жизнь человека? Кроме того, сколько бросков потребуется, чтобы приблизиться к истинному значению? Таким образом, хотя частотный подход является обоснованным и очень хорошо изученным подходом, он иногда приводит к определенным рассуждениям, которые трудно интерпретировать, и даже приводит к тому, что он подвергается сомнению в некоторых научных журналах.

Чтобы преодолеть эти ограничения, можно использовать другой статистический подход: то, что известно как байесианство. В этой парадигме вероятность — это степень неопределенности, которую мы имеем в отношении процесса, и сделанные наблюдения способствуют уменьшению этой неопределенности. Это математическое представление процесса обучения.

Возвращаясь к примеру с монетой, мы пытаемся оценить значение вероятности того, что выпадет решка. Для этого первым делом необходимо определить возможные априорные значения этой вероятности. В случае отсутствия каких-либо предварительных знаний можно установить, что вероятность может составлять от 0 до 100%. После этого производится множество подбрасываний монеты, которые уменьшают неопределенность и ограничивают возможные значения вероятности выпадения орла.

Именно этот подход использовался в недавнем исследовании, проведенном более чем 50 исследователями из Нидерландов. Исследование отходит от идеи повторения и ее сложности в интерпретации: они выполнили 350 757 подбрасываний разных типов монет, чтобы получить диапазон апостериорных значений вероятности выпадения орла, который находится между 49,9% и 50,3. %. Таким образом, этот результат усиливает уже известную и проверенную идею 50 на 50 и, следовательно, позволяет нам доверять монете, чтобы сломать ничью.

В том же исследовании они также смогли поддержать модель Диакониса, Холмса и Монтгомери: они установили диапазон вероятности падения монеты в исходное положение между 50,3% и 50,9%, то есть хотя и не 51%. точнее, это указывает на существование определенной предвзятости.

Помимо этого примера, байесовская статистика сыграла фундаментальную роль в таких исторических событиях, как расшифровка машина «Энигма» Алана Тьюринга. В настоящее время он используется везде, где изучаются сложные процессы, такие как распространение видов, климатологические модели или пространственные отношения, лежащие в основе здоровья или других явлений. Кроме того, это один из методов, используемых в так называемом машинном обучении.

Анабель Форте Она профессор Университета Валенсии.

Редактирование и координация: Агат А. Раддер Г Лонгория (ИКМАТ)

Кофе и теоремы — это раздел, посвященный математике и среде, в которой она создается, координируемый Институтом математических наук (ICMAT), в котором исследователи и члены центра описывают последние достижения в этой дисциплине, делятся точками соприкосновения математики и других социальных и формы культурного самовыражения и вспоминаем тех, кто отметил их развитие и умел превращать кофе в теоремы. Название напоминает определение венгерского математика Альфреда Реньи: «Математик — это машина, которая превращает кофе в теоремы».

Вы можете следить МАТЕРИЯ в Фейсбук, Икс е Инстаграмнажмите здесь, чтобы получить наш еженедельный информационный бюллетень.